Moving medel alltid stationär

Flytta genomsnittliga och exponentiella utjämningsmodeller. Som ett första steg för att flytta bortom genomsnittliga modeller kan slumpmässiga gångmodeller och linjära trendmodeller, nonseasonal mönster och trender extrapoleras med hjälp av en rörlig genomsnitts - eller utjämningsmodell. Det grundläggande antagandet bakom medelvärdes - och utjämningsmodeller är Att tidsserierna är lokalt stationära med ett långsamt varierande medelvärde. Därför tar vi ett rörligt lokalt medelvärde för att uppskatta det nuvarande värdet av medelvärdet och sedan använda det som prognosen för den närmaste framtiden. Detta kan betraktas som en kompromiss mellan medelmodellen Och slumpmässig-walk-without-drift-modellen Samma strategi kan användas för att uppskatta och extrapolera en lokal trend. Ett glidande medel kallas ofta en jämn version av den ursprungliga serien, eftersom kortsiktig medelvärde har en effekt att utjämna stötarna I den ursprungliga serien Genom att justera graden av utjämning av det rörliga genomsnittsbredden kan vi hoppas att hitta någon form av optimal balans mellan prestandan hos medelvärdet Och slumpmässiga gångmodeller Den enklaste typen av medelvärdesmodell är det enkla lika viktade rörliga medelvärdet. Värdet för Y-värdet vid tiden t 1 som görs vid tid t är lika med det enkla genomsnittet av de senaste m-observationerna. Här och någon annanstans kommer jag att använda symbolen Y-hat för att stå för en prognos av tidsserien Y som gjorts så tidigt som möjligt före en given modell. Detta medel är centrerat vid period-m 1 2, vilket innebär att uppskattningen av Den lokala medelvärdet tenderar att ligga bakom det verkliga värdet av det lokala medelvärdet med ca m 1 2 perioder Således säger vi att medeltal för data i det enkla glidande medlet är m 1 2 relativt den period som prognosen beräknas för Det här är hur lång tid prognoserna tenderar att ligga bakom vändpunkter i data. Om du till exempel medger de senaste 5 värdena kommer prognoserna att vara cirka 3 perioder sent för att svara på vändpunkter. Observera att om m 1, Den enkla glidande SMA-modellen motsvarar den slumpmässiga promenadmodellen utan tillväxt Om m är mycket stor jämförbar med längden av uppskattningsperioden är SMA-modellen lika med medelmodellen. Som med vilken parameter som helst av en prognosmodell är det vanligt Att justera värdet av ki N för att få den bästa passformen till data, det vill säga de minsta prognosfelen i genomsnitt. Här är ett exempel på en serie som verkar uppvisa slumpmässiga fluktuationer runt ett långsamt varierande medel. Låt oss försöka passa det med en slumpmässig promenad Modellen, vilket motsvarar ett enkelt glidande medelvärde av 1 term. Slumpmässig gångmodell svarar väldigt snabbt på förändringar i serien, men därigenom väljer det mycket av bruset i dataen de slumpmässiga fluktuationerna samt signalen den lokala Medelvärde Om vi ​​istället försöker ett enkelt glidande medelvärde på 5 termer får vi en snyggare uppsättning prognoser. Det 5-åriga enkla glidande medlet ger betydligt mindre fel än den slumpmässiga gångmodellen i detta fall Medelåldern för data i detta Prognosen är 3 5 1 2, så att den tenderar att ligga bakom vändpunkter med cirka tre perioder. Till exempel verkar en nedgång ha skett i period 21, men prognoserna vänder inte om till flera perioder senare. Notera att den långsiktiga Termiska prognoser från SMA mod El är en horisontell rak linje, precis som i den slumpmässiga promenadmodellen. Således antar SMA-modellen att det inte finns någon trend i data. Men prognoserna från slumpmässig promenadmodell är helt enkelt lika med det sista observerade värdet, prognoserna från SMA-modellen är lika med ett vägt genomsnitt av de senaste värdena. De konfidensbegränsningar som beräknas av Statgraphics för de långsiktiga prognoserna för det enkla rörliga genomsnittet blir inte större, eftersom prognostiseringshorisonten ökar. Detta är uppenbarligen inte korrekt. Tyvärr finns ingen underliggande Statistisk teori som berättar hur förtroendeintervallen borde utvidgas för denna modell. Det är emellertid inte så svårt att beräkna empiriska uppskattningar av konfidensgränserna för prognoserna för längre horisont. Till exempel kan du skapa ett kalkylblad där SMA-modellen Skulle användas för att prognostisera två steg framåt, 3 steg framåt, etc inom det historiska dataprovet. Du kan sedan beräkna provstandardavvikelserna för fel vid varje prognos h Orizon och konstruera sedan konfidensintervaller för längre siktprognoser genom att lägga till och subtrahera multiplar av lämplig standardavvikelse. Om vi ​​försöker ett 9-sikt enkelt glidande medelvärde får vi ännu smidigare prognoser och mer av en långsammare effekt. Medelåldern är Nu 5 perioder 9 1 2 Om vi ​​tar ett 19-årigt glidande medelvärde, ökar medeltiden till 10. Notera att prognoserna nu försvinner nu bakom vändpunkter med cirka 10 perioder. Vilken mängd utjämning är bäst för denna serie Här är en tabell som jämför deras felstatistik, även med ett 3-årigt genomsnitt. Modell C, det 5-åriga glidande genomsnittet, ger det lägsta värdet av RMSE med en liten marginal över de tre och 9-siktiga genomsnitten, och Deras andra statistik är nästan identiska Så, bland modeller med mycket liknande felstatistik kan vi välja om vi föredrar lite mer lyhördhet eller lite mer jämnhet i prognoserna. Tillbaka till början av sidan. Brons s Exponentiell utjämning exponentiellt vägd Glidande medelvärdet. Den enkla glidande medelmodellen som beskrivs ovan har den oönskade egenskapen som den behandlar de sista k-observationerna lika och fullständigt ignorerar alla föregående observationer Intuitivt bör tidigare data diskonteras mer gradvis - till exempel bör den senaste observationen Få lite mer vikt än 2: a senast och 2: a senast bör få lite mer vikt än den 3: e senaste, och så vidare. Den enkla exponentiella utjämning SES-modellen åstadkommer detta. Låt beteckna en utjämningskonstant ett tal mellan 0 och 1 Ett sätt att skriva modellen är att definiera en serie L som representerar den aktuella nivån, dvs det lokala medelvärdet av serien som uppskattat från data upp till idag. Värdet av L vid tid t beräknas rekursivt från sitt eget tidigare värde som detta. Således är det nuvarande utjämnade värdet en interpolation mellan det tidigare jämnda värdet och den aktuella observationen, där kontrollen av det interpolerade värdet är så nära som möjligt Cent observation Prognosen för nästa period är helt enkelt det nuvarande utjämnade värdet. Evivalent kan vi uttrycka nästa prognos direkt i form av tidigare prognoser och tidigare observationer, i någon av följande ekvivalenta versioner I den första versionen är prognosen en interpolering Mellan föregående prognos och tidigare observation. I den andra versionen erhålls nästa prognos genom att justera föregående prognos i riktning mot det föregående felet med en bråkdel. Erroren vid tidpunkten t I den tredje versionen är prognosen en Exponentiellt viktad dvs diskonterat glidande medelvärde med rabattfaktor 1.Interpoleringsversionen av prognosformuläret är det enklaste att använda om du implementerar modellen på ett kalkylblad som passar i en enda cell och innehåller cellreferenser som pekar på föregående prognos, föregående Observation och cellen där värdet av lagras. Notera att om 1, motsvarar SES-modellen en slumpmässig promenadmodell wit Träväxt Om 0 är SES-modellen ekvivalent med medelmodellen, förutsatt att det första släta värdet är lika med medelvärdet Return to top of the page. Den genomsnittliga åldern för data i prognosen för enkel exponentiell utjämning är 1 relativ Till den period för vilken prognosen beräknas. Detta är inte tänkt att vara uppenbart, men det kan enkelt visas genom att utvärdera en oändlig serie. Därför tenderar den enkla glidande genomsnittliga prognosen att ligga bakom vändpunkter med ca 1 period. Till exempel när 0 5 fördröjningen är 2 perioder när 0 2 fördröjningen är 5 perioder då 0 1 fördröjningen är 10 perioder och så vidare. För en given medelålder, dvs mängden fördröjning, är den enkla exponentiella utjämning SES-prognosen något överlägsen den enkla rörelsen Genomsnittlig SMA-prognos eftersom den lägger relativt större vikt vid den senaste observationen - det är något mer responsivt på förändringar som inträffade under det senaste. Till exempel har en SMA-modell med 9 villkor och en SES-modell med 0 2 båda en genomsnittlig ålder Av 5 för da Ta i sina prognoser, men SES-modellen lägger mer vikt på de senaste 3 värdena än SMA-modellen och samtidigt glömmer det inte helt värderingar som är mer än 9 perioder gamla, vilket visas i det här diagrammet. En annan viktig fördel med SES-modellen över SMA-modellen är att SES-modellen använder en utjämningsparameter som är kontinuerligt variabel så att den enkelt kan optimeras genom att använda en solveralgoritm för att minimera medelkvadratfelet. Det optimala värdet av SES-modellen för denna serie visar sig Att vara 0 2961, som visas här. Medelåldern för data i denna prognos är 1 0 2961 3 4 perioder, vilket liknar det för ett 6-sikt enkelt glidande medelvärde. De långsiktiga prognoserna från SES-modellen är En horisontell rak linje som i SMA-modellen och den slumpmässiga promenadmodellen utan tillväxt Men notera att de konfidensintervaller som beräknas av Statgraphics nu avviker på ett rimligt sätt och att de är väsentligt smalare än förtroendeintervallet för rand Om walk-modellen SES-modellen förutsätter att serien är något mer förutsägbar än den slumpmässiga promenadmodellen. En SES-modell är egentligen ett speciellt fall av en ARIMA-modell, så den statistiska teorin om ARIMA-modeller ger en bra grund för att beräkna konfidensintervaller för SES-modell SES-modellen är speciellt en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad, en MA 1-term och ingen konstant term som annars kallas en ARIMA 0,1,1-modell utan konstant MA1-koefficienten i ARIMA-modellen motsvarar Kvantitet 1- i SES-modellen Om du till exempel passar en ARIMA 0,1,1-modell utan konstant till den analyserade serien, visar den uppskattade MA 1-koefficienten sig på 0 7029, vilket är nästan exakt en minus 0 2961. Det är möjligt att lägga till antagandet om en icke-noll konstant linjär trend till en SES-modell. Ange härmed bara en ARIMA-modell med en icke-säsongsskillnad och en MA 1-term med en konstant, dvs en ARIMA 0,1,1-modell Med konstant De långsiktiga prognoserna kommer att Då har en trend som är lika med den genomsnittliga trenden som observerats under hela estimeringsperioden. Du kan inte göra detta i samband med säsongsjustering, eftersom säsongsjusteringsalternativen är inaktiverade när modelltypen är inställd på ARIMA. Du kan dock lägga till en konstant lång Termisk exponentialutveckling till en enkel exponentiell utjämningsmodell med eller utan säsongjustering genom att använda inflationsjusteringsalternativet i prognostiseringsförfarandet. Den lämpliga inflationsprocenttillväxten per period kan uppskattas som lutningskoefficienten i en linjär trendmodell monterad på data i Samband med en naturlig logaritmtransformation, eller det kan baseras på annan oberoende information om långsiktiga tillväxtutsikter. Tillbaka till början av sidan. Brett s Linjär dvs dubbel exponentiell utjämning. SMA-modellerna och SES-modellerna antar att det inte finns någon trend av Vilken typ som helst i de data som vanligtvis är ok eller åtminstone inte för dålig för 1-stegs prognoser när data är relativt noi Sy och de kan modifieras för att införliva en konstant linjär trend som visas ovan. Vad sägs om kortsiktiga trender Om en serie visar en varierande tillväxthastighet eller ett cykliskt mönster som står klart mot bruset och om det finns behov av att Prognos mer än 1 år framåt, kan uppskattning av en lokal trend också vara ett problem. Den enkla exponentiella utjämningsmodellen kan generaliseras för att erhålla en linjär exponentiell utjämning av LES-modell som beräknar lokala uppskattningar av både nivå och trend. Den enklaste tidsvarierande trenden Modellen är Brown s linjär exponentiell utjämningsmodell, som använder två olika släta serier som centreras vid olika tidpunkter. Prognosformeln baseras på en extrapolering av en linje genom de två centren. En mer sofistikerad version av denna modell, Holt s, är Diskuteras nedan. Den algebraiska formen av Browns linjära exponentiella utjämningsmodell, som den enkla exponentiella utjämningsmodellen, kan uttryckas i ett antal olika men e Kvivalenta former Standardformen för denna modell uttrycks vanligtvis enligt följande. Låt S beteckna den singelformade serien som erhållits genom att applicera enkel exponentiell utjämning till serie Y Det är värdet av S vid period t ges av. Minns att under enkel exponentiell utjämning skulle detta vara prognosen för Y vid period t 1 Låt sedan S beteckna den dubbelsidiga serien som erhållits genom att applicera enkel exponentiell utjämning med samma till serie S. Slutligen är prognosen för Y tk för vilken som helst K 1, ges av. Detta ger e 1 0, dvs lurar lite och låt den första prognosen motsvara den faktiska första observationen och e 2 Y 2 Y 1, varefter prognoser genereras med hjälp av ekvationen ovan. Detta ger samma monterade värden Som formel baserad på S och S om den senare startades med användning av S 1 S 1 Y 1 Denna version av modellen används på nästa sida som illustrerar en kombination av exponentiell utjämning med säsongsjustering. Helt s linjär exponentiell utjämning. S LES-modellen beräknar lokala uppskattningar av nivå och trend genom att utjämna de senaste uppgifterna, men det faktum att det gör det med en enda utjämningsparameter ställer en begränsning på datamönstren att den kan passa nivån och trenden får inte variera vid Oberoende priser Holt s LES-modellen behandlar detta problem genom att inkludera två utjämningskonstanter, en för nivån och en för trenden. När som helst t, som i Brown s-modellen, finns det en uppskattning L t på lokal nivå och en uppskattning T T av den lokala trenden Här beräknas de rekursivt från värdet av Y observerat vid tid t och de tidigare uppskattningarna av nivån och trenden med två ekvationer som tillämpar exponentiell utjämning åt dem separat. Om den beräknade nivån och trenden vid tiden t-1 Är L tl och T t-1, då skulle prognosen för Y t som skulle ha gjorts vid tid t-1 vara lika med L t-1 T t 1 När det verkliga värdet observeras, uppdateras uppskattningen av Nivån beräknas rekursivt genom att interpolera mellan Yt och dess prognos, L t-1 T t-1, med vikter av och 1. Förändringen i beräknad nivå, nämligen L t L t 1 kan tolkas som en bullrig mätning av Trenden vid tiden t Den uppdaterade uppskattningen av trenden beräknas därefter rekursivt genom interpolering mellan L T L t 1 och den tidigare uppskattningen av trenden, T t-1 med vikter av och 1.Tolkningen av trendutjämningskonstanten är analog med den för nivåutjämningskonstanten. Modeller med små värden antar att trenden förändras Bara mycket långsamt över tiden medan modeller med större antar att det förändras snabbare En modell med en stor tror att den avlägsna framtiden är väldigt osäker eftersom fel i trendberäkning blir ganska viktiga när prognoser mer än en period framåt. Av sidan. Utjämningskonstanterna och kan beräknas på vanligt sätt genom att minimera medelkvadratfelet i de 1-stegs-prognoserna. När detta görs i Statgraphics visar uppskattningarna att vara 0 3048 och 0 008 Det mycket lilla värdet av Innebär att modellen antar mycket liten förändring i trenden från en period till en annan, så i princip försöker denna modell uppskatta en långsiktig trend. I analogi med begreppet medelålder för de data som används vid uppskattning av t Han lokal nivå av serien, den genomsnittliga åldern för de data som används för att uppskatta den lokala trenden är proportionell mot 1, men inte exakt lika med det i det här fallet visar sig vara 1 0 006 125 Detta är inte mycket exakt nummer Eftersom beräkningsnoggrannheten inte är riktigt 3 decimaler, men den har samma generella storleksordning som provstorleken på 100, så denna modell är medelvärdesberäknad över en hel del historia vid beräkning av trenden. Prognosplotten Nedan visar att LES-modellen beräknar en något större lokal trend i slutet av serien än den ständiga trenden som uppskattas i SES-trendmodellen. Det uppskattade värdet är nästan identiskt med det som erhållits genom att montera SES-modellen med eller utan trend , Så det här är nästan samma modell. Nu ser dessa ut som rimliga prognoser för en modell som ska beräkna en lokal trend. Om du eyeball denna plot ser det ut som om den lokala trenden har vänt sig nedåt i slutet av Serie Wh Vid har hänt Parametrarna för denna modell har uppskattats genom att minimera kvadreringsfelet i 1-stegs prognoser, inte längre prognoser, i vilket fall trenden inte gör stor skillnad. Om allt du tittar på är 1 - steg framåtfel, ser du inte den större bilden av trender över säga 10 eller 20 perioder För att få denna modell mer i linje med vår ögonbolls extrapolering av data kan vi manuellt justera trendutjämningskonstanten så att den Använder en kortare baslinje för trenduppskattning. Om vi ​​exempelvis väljer att ställa in 0 1, är medelåldern för de data som används för att uppskatta den lokala trenden 10 perioder, vilket betyder att vi medeltar trenden under de senaste 20 perioderna eller så Här är vad prognosplottet ser ut om vi ställer in 0 1 samtidigt som vi håller 0 3 Det ser intuitivt rimligt ut för den här serien, men det är förmodligen farligt att extrapolera denna trend mer än 10 perioder i framtiden. Vad med felstatistiken Här är En modell jämförelse f Eller de två modellerna som visas ovan samt tre SES-modeller. Det optimala värdet på SES-modellen är ungefär 0 3, men liknande resultat med något mer eller mindre responsivitet erhålls med 0 5 och 0 2. En Holt s linjär expo-utjämning Med alfa 0 3048 och beta 0 008. B Holt s linjär expjäkning med alfa 0 3 och beta 0 1. C Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 5. D Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 3. E Enkel exponentiell utjämning med alfa 0 2.De statistik är nästan identiska så vi kan verkligen inte göra valet på grundval av 1-stegs prognosfel inom dataprovet. Vi måste falla tillbaka på andra överväganden. Om vi ​​starkt tror att det är vettigt att basera strömmen Trendberäkning om vad som hänt under de senaste 20 perioderna eller så kan vi göra ett fall för LES-modellen med 0 3 och 0 1 Om vi ​​vill vara agnostiker om det finns en lokal trend, kan en av SES-modellerna Vara lättare att förklara och skulle också ge mer medel E-of-the-road prognoser för de kommande 5 eller 10 perioderna Gå tillbaka till toppen av sidan. Vilken typ av trend-extrapolation är bäst horisontellt eller linjärt. Empiriska bevis tyder på att om uppgifterna redan har justerats om det behövs för inflationen, då Det kan vara oskäligt att extrapolera kortsiktiga linjära trender långt in i framtiden. Trenden som uppenbaras idag kan slakta i framtiden på grund av olika orsaker som produktförstöring, ökad konkurrens och konjunkturnedgångar eller uppgångar i en bransch. Därför är det enkelt exponentiellt Utjämning utförs ofta bättre utom provet än vad som annars skulle kunna förväntas trots sin naiva horisontella trend-extrapolering. Dämpade trendändringar av den linjära exponentiella utjämningsmodellen används också i praktiken för att införa en konservatismedel i dess trendprognoser. Den dämpade trenden LES-modellen kan implementeras som ett speciellt fall av en ARIMA-modell, i synnerhet en ARIMA 1,1,2-modell. Det är möjligt att beräkna konfidensintervall arou Nd långsiktiga prognoser som produceras av exponentiella utjämningsmodeller, genom att betrakta dem som speciella fall av ARIMA-modeller Var försiktig att inte alla mjukvaror beräknar konfidensintervaller för dessa modeller korrekt. Bredden på konfidensintervallet beror på jag RMS-felet i modellen, ii typen Av utjämning enkel eller linjär iii värdet s av utjämningskonstanten s och iv antalet framåtprognoser du prognoserar Generellt sprids intervallerna snabbare och blir större i SES-modellen och de sprider sig mycket snabbare när linjär snarare än enkel Utjämning används Detta avsnitt diskuteras vidare i avsnittet ARIMA-modeller i anteckningarna. Gå tillbaka till början av sidan. En kort introduktion till modern tidsserie. Definition En tidsserie är en slumpmässig funktion xt av ett argument t i en uppsättning T Med andra ord , En tidsserie är en familj av slumpmässiga variabler x t-1 xtxt 1 som motsvarar alla element i uppsättningen T, där T är tänkt att vara en uppsägbar, oändlig uppsättning. Definition En observerad tid Serie tte T o T betraktas som en del av en realisering av en slumpmässig funktion xt En oändlig uppsättning möjliga realisationer som kan ha observerats kallas ett ensemble. För att ställa saker snabbare är tidsserien eller slumpmässig funktion en riktig funktion Xw, t av de två variablerna w och t, ​​där wW och tT Om vi ​​fixar värdet på w har vi en verklig funktion xtw av tiden t, vilket är en realisering av tidsserierna Om vi ​​fixar värdet på t, Då har vi en slumpmässig variabel xwt För en given tidpunkt finns en sannolikhetsfördelning över x Således kan en slumpmässig funktion xw, t betraktas som antingen en familj av slumpmässiga variabler eller som en familj av realisationer. Definition Vi definierar fördelningsfunktionen Av den slumpmässiga variabeln w givet t 0 som P oxx På samma sätt kan vi definiera fogfördelningen för n slumpmässiga variabler. Punkterna som skiljer tidsserieanalys från vanliga statistiska analyser är följande 1 Beroendet mellan observationer vid olika chro Nologiska poäng i tid spelar en viktig roll Med andra ord är observationsordningen viktig. I vanlig statistisk analys antas att observationerna är ömsesidigt oberoende. 2 Domänen av t är oändlig. 3 Vi måste göra en inferens från en realisering. Förverkligandet. Av den slumpmässiga variabeln kan endast observeras en gång vid varje tidpunkt I multivariatanalys har vi många observationer på ett ändligt antal variabler Denna kritiska skillnad kräver att stationaritet antas. Definitionen Slumpmässiga funktionen xt sägs vara strikt stillastående om alla Ändamålsenliga distributionsfunktioner som definierar xt förblir densamma, även om hela gruppen av punkter t 1 t 2 tn förskjuts längs tidsaxeln Det är, om. för alla heltal t 1 t 2 tn och k Grafiskt kan man visa realiseringen av En strikt stationär serie som inte bara har samma nivå i två olika intervaller, men också samma fördelningsfunktion, helt ner till parametern Ters som definierar det. Antagandet av stationäritet gör våra liv enklare och billigare. Utan stationäritet skulle vi behöva prova processen ofta vid varje tidpunkt för att bygga upp en karakterisering av distributionsfunktionerna i den tidigare definitionen. Stationäritet betyder att vi kan begränsa Vår uppmärksamhet på några av de enklaste numeriska funktionerna, dvs distributionsmomenterna De centrala stunderna ges av Definition i Medelvärdet av tidsserierna t är det första ordningens moment ii Autokovariansfunktionen av t är den andra Moment om medelvärdet Om ts då har du variansen av xt Vi kommer att använda för att ange autokovarians av en stationär serie, där k anger skillnaden mellan t och s iii Autokorrelationsfunktionen ACF av t är. Vi kommer att använda för att beteckna autokorrelationen Av en stationär serie, där k anger skillnaden mellan t och s iv Den partiella autokorrelationen PACF f kk är korrelationen mellan zt och ztk efter re Flytta sitt ömsesidiga linjära beroende av de intervenerande variablerna zt 1 zt 2 zt k-1 Ett enkelt sätt att beräkna den partiella autokorrelationen mellan zt och ztk är att köra de två regressionerna. Beräkna korrelationen mellan de två restvektorerna eller, efter att ha mätt Variabler som avvikelser från deras medel kan den partiella autokorrelationen hittas som LS-regressionskoefficienten på zt i modellen. Där punkten över variabeln indikerar att den mäts som en avvikelse från dess medelvärde v. Yule-Walker-ekvationerna ger en viktig Förhållandet mellan de partiella autokorrelationerna och autokorrelationerna Multiplicera båda sidor av ekvation 10 av zt kj och ta förväntningar Denna operation ger oss följande skillnadsekvation i autocovariances. or, när det gäller autokorrelationer. Denna till synes enkla representationen är verkligen ett kraftfullt resultat Namely , För j 1,2 k kan vi skriva hela systemet av ekvationer, kända som Yule-Walker ekvationer. Från linjär algebra y Du vet att matrisen av rs är av full rang Det är därför möjligt att tillämpa Cramer s regel successivt för k 1,2 för att lösa systemet för de partiella autokorrelationerna De tre första är Vi har tre viktiga resultat på strikt stationära serier. Implikationen Är att vi kan använda någon ändlig realisering av sekvensen för att uppskatta medelvärdet Andra om t är strikt stationärt och E t 2 då. Implikationen är att autokovariansen bara beror på skillnaden mellan t och s, inte deras kronologiska punkt i tid Vi Skulle kunna använda några parintervaller i autokovarians beräkning så länge som tiden mellan dem var konstant. Vi kan använda någon ändlig realisering av data för att uppskatta autocovariances. För det tredje ges autokorrelationsfunktionen vid strikt stationäritet av. Implikationen är att autokorrelationen bara beror på skillnaden mellan t och s också, och igen kan de uppskattas genom någon ändlig realisering av data. Om vårt mål jag S för att uppskatta parametrar som beskrivs av möjliga realisationer av tidsserierna, så är kanske sträng stationär för restriktiv. Till exempel, om medelvärdena och covariancesna av xt är konstanta och oberoende av den kronologiska punkten i tiden, kanske det inte är viktigt Till oss att distributionsfunktionen är densamma för olika tidsintervaller. Definition En slumpmässig funktion är stationär i bred mening eller svagt stationär eller stationär i Khinchins betydelse eller kovarians stationär om m 1 tm och m 11 t, s. Trict Stationäritet betyder inte i sig svag stationaritet Svag stationäritet betyder inte strikt stationaritet Stark stationaritet med Et 2 innebär svag stationäritet. Orgliga teoremer handlar om frågan om nödvändiga och tillräckliga förutsättningar för att göra inferens från en enda realisering av en tidsserie. Det kokar ner för att antaga svag stationaritet. Ordet Om t är svagt stationärt med medel m och kovariansfunktion, då. Det vill säga för någon given e 0 och h 0 finns det något tal T o så att för alla TT o om och endast om. Detta nödvändiga och tillräckliga villkor är att autocovariances dör ut, i vilket fall provet betyder en konsekvent estimator För populationen mean. Corollary Om t är svagt stationär med E tkxt 2 för någon t, och E tkxtxtskxts är oberoende av t för något heltal s, då. if och endast om where. A. följden av följd är antagandet att xtxtk är Svagt stationär Den ergodiska stämningen är inte mer än en lag av stora tal när observationerna är korrelerade. Man kan nu fråga om de praktiska konsekvenserna av stationaritet. Den vanligaste användningen av tidsserietekniker är att modellera makroekonomiska data, både teoretiska Och atoretiskt Som ett exempel på den tidigare kan man ha en multiplikator-acceleratormodell. För att modellen ska vara stationär måste parametrarna ha vissa värden. Ett test av modellen är då att samla relevansen Nt-data och uppskatta parametrarna Om uppskattningarna inte överensstämmer med stationaritet, måste man ompröva antingen den teoretiska modellen eller statistisk modell eller båda. Vi har nu tillräckligt med maskiner för att börja prata om modelleringen av univariata tidsseriedata. Det finns Fyra steg i processen 1 byggnadsmodeller från teoretisk och eller experientiell kunskap 2 identifiera modeller baserade på den data observerade serien 3 montera modellerna som uppskattar parametrarna i modellen s 4 kontrollera modellen Om vi ​​inte är nöjda i det fjärde steget återvänder vi till Steg ett Processen är iterativ tills ytterligare kontroll och respektering ger ingen ytterligare förbättring av resultaten Diagrammatiskt. Definitions Några enkla operationer inkluderar följande Backshift-operatören Bx tx t-1 Framåtriktaren Fx txt 1 Skillnadsoperatören 1 - B xtxt - x t -1 Skillnadsoperatören uppträder på ett sätt som överensstämmer med konstanten i en oändlig serie. Det vill säga dess invers är limi T av en oändlig summa Namnlösa, -1 1-B -1 1 1-B 1 BB 2 Integreringsoperatören S -1 Eftersom det är invers av skillnadsoperatören, tjänar integrationsoperatören att konstruera summan. MODUL BUILDING I detta Avsnittet erbjuder vi en kort översikt över de vanligaste typerna av tidsseriemodeller. På grundval av en s-kännedom om datagenereringsprocessen väljer man en klass av modeller för identifiering och uppskattning från de möjligheter som följer. Definition. Antag att Ex tm är oberoende Av t En modell som. med egenskaperna kallas den autoregressiva modellen av order p, ARp. Definition Om en tidsberoende variabel stokastisk process t uppfyller så sägs t att det uppfyller Markov-egenskapen På LHS är förväntan konditionerad på Oändlig historia av xt På RHS är det villkorat endast en del av historiken Från definitionerna ser man att en AR p-modell uppfyller Markov-egenskapen Med hjälp av backshift-operatören kan vi skriva vår AR-modell som. Ordningen A nödvändig och suff Icient villkor för AR p-modellen att vara stationär är att alla polynomernas rötter ligger utanför enhetens cirkel. Exempel 1 Tänk på AR 1 Den enda roten av 1 - f 1 B 0 är B 1 f 1 Villkoret för Stationäritet kräver det. Om den observerade serien kommer att framstå som väldigt frenetisk, anser du att det i den vita ljudsignalen har en normal fördelning med nollvärde och en varians av en Observationsomkopplaren undertecknar med nästan varje observation. Om den andra Hand, då kommer den observerade serien att vara mycket jämnare. I denna serie tenderar en observation att vara över 0 om dess föregångare var över nollvariationen av et är se 2 för alla t. Variationen av xt när den har noll betyder, ges av Eftersom serien är stationär kan vi skriva Hence. The autocovariance-funktionen i en AR 1-serie är att förutse utan förlust av generality m 0. För att se hur det ser ut utifrån AR-parametrarna kommer vi att utnyttja det faktum att vi kan Skriv xt enligt följande. Multiplicera med x tk och ta e Xpectations. Note att autocovariances dö ut som k växer Autocorrelation funktionen är autokovarians dividerad med variansen av den vita brus termen eller, Använda tidigare Yule-Walker formler för de partiella autokorrelationer vi har. För en AR 1 dömer autokorrelationerna Exponentiellt och de partiella autokorrelationerna uppvisar en spik vid en lag och är noll därefter. Exempel 2 Tänk på AR 2 Det associerade polynomet i lagoperatören är. Rötterna kan hittas med hjälp av den kvadratiska formeln Rötterna är. När rötterna är reella och Följaktligen kommer serien att minska exponentiellt på grund av en chock När rötterna är komplexa och serierna kommer att visas som en dämpad teckenvåg. Stationsarbetssatsen ställer följande villkor på AR-koefficienterna. Autokovariansen för en AR 2-process med Noll medelvärde, is. Dividing genom variansen av xt ger autokorrelationsfunktionen Eftersom vi kan skriva På liknande sätt för andra och tredje autokorrelationer. O Deras autokorrelationer löses för rekursivt Deras mönster styrs av rötterna i den andra ordningen linjära skillnadsekvationen. Om rötterna är verkliga kommer autokorrelationerna att minska exponentiellt. När rötterna är komplexa kommer autokorrelationerna att visas som en dämpad sinusvåg. Använda Yule - Walker-ekvationer, de partiella autokorrelationerna är. Again, autokorrelationerna dämpar långsamt. Den delvisa autokorrelationen å andra sidan är ganska distinkt. Den har spikar vid en och två lags och är noll därefter. Stycket Om xt är en stationär AR p-process kan den Skrivs likvärdigt som en linjär filtermodell Det vill säga att polynomet i backshift-operatören kan inverteras och ARp skrivs som ett glidande medelvärde av oändlig ordning istället. Exempel. Antag att zt är en AR 1-process med nollvärde. Vad är sant för Nuvarande period måste också vara sant för tidigare perioder. Således genom rekursiv substitution kan vi skriva. Fasad båda sidor och ta förväntningar. Höger sida vanishe S som k sedan f 1 Därför summan konvergerar till zt i kvadratiska medelvärden Vi kan skriva om AR p-modellen som ett linjärt filter som vi vet är stationära. Autokorrelationsfunktionen och Partial Autocorrelation Generellt Anta att en stationär serie zt med medel noll är Känt för att vara autoregressiv Autocorrelationsfunktionen för en AR p hittas genom att ta förväntningar om och dela genom variansen av z t. Detta berättar för oss att rk är en linjär kombination av tidigare autokorrelationer. Vi kan använda detta vid tillämpning av Cramer s regel Till jag i att lösa för f kk I synnerhet kan vi se att detta linjära beroende beror på f kk 0 för kp. Denna särdrag hos autoregressiva serier kommer att vara mycket användbar när det gäller identifiering av en okänd serie. Om du har antingen MathCAD eller MathCAD Explorer då kan du experimentera med interaktion med några av de AR p-idéer som presenteras här. Flytta genomsnittsmodeller Överväg en dynamisk modell där serien av intresse bara beror på en del Av historien om det vita brusetermet Diagrammatiskt kan detta representeras som Definition. Antag att det är en okorrelerad sekvens av iid slumpmässiga variabler med noll medelvärde och ändlig varians. Sedan ges en glidande genomsnittsprocess av order q, MA q Glidande medelprocessen är alltid stillastående Bevis I stället för att börja med ett generellt bevis gör vi det för ett visst fall Antag att zt är MA 1 Då är det naturligtvis med noll medel och ändlig varians Medelvärdet av zt är alltid noll Autokollärerna kommer att vara Ges av. Du kan se att medelvärdet av slumpvariabeln inte beror på tid på något sätt. Du kan också se att autokovariansen bara beror på offset s, inte på var i serien vi börjar. Vi kan bevisa samma resultat mer I allmänhet genom att börja med, vilken har den alternativa rörliga genomsnittliga representationen. Tänk först på variansen av z t. Med rekursiv substitution kan du visa att detta är lika med. Summan vi vet är en konvergerande serie så varianansen Är ändamålsenlig och oberoende av tiden. Kovarianerna är till exempel. Du kan också se att de automatiska covarianserna bara beror på de relativa punkterna i tid, inte den kronologiska tidpunkten. Vår slutsats från allt detta är att en MA-process är stillastående Den allmänna MA q processen autokorrelationsfunktionen ges av. Den partiella autokorrelationsfunktionen kommer att dö ut smidigt. Du kan se detta genom att invertera processen för att få en AR-process. Om du har antingen MathCAD eller MathCAD Explorer kan du experimentera interaktivt med några av MA q-idéerna presenteras här. Blandade autoregressiva - Flytta genomsnittsmodeller. Definition Definierar vid är en okorrelerad sekvens av iid-slumpvariabler med noll medelvärde och ändlig varians. Då är en autokegressiv, glidande medelprocess av order p, q, ARMA p, q, Givet av. Den autoregressiva operatörens rötter måste alla ligga utanför enhetens cirkel. Antalet okända är pq. 2 P och q är uppenbara. 2 innehåller processens nivå, m en D variansen av det vita bruseterminalen, sa 2. Antag att vi kombinerar våra AR - och MA-representationer så att modellen är. och koefficienterna är normaliserade så att bo 1 Då kallas denna representation en ARMA p, q om rötterna av 1 alla ligger utanför enhetens cirkel Anta att yten mäts som avvikelser från medelvärdet så att vi kan släppa ao då autokovariansfunktionen härleds från. if jq då faller MA-termerna i förväntan att ge. Det är autokovariansfunktionen Ser ut som en typisk AR för lags efter q de dör ut smidigt efter q men vi kan inte säga hur 1,2, q kommer att se. Vi kan också undersöka PACF för denna klass av modell. Modellen kan skrivas som. Vi kan skriva Detta som en MA inf process. which antyder att PACF s sakta sakta med några aritmetiska vi kunde visa att detta händer först efter de första p-spikar som AR-delen bidrar med. Empirisk lag I själva verket kan en stationär tidsserie vara väl representerad Vid p 2 och q 2 Om din verksamhet är att prova Ide en god approximation till verkligheten och godhet med passform är ditt kriterium då en förlorad modell är att föredra Om ditt intresse är prediktiv effektivitet, är den parsimoniska modellen föredragen. Experiment med ARMA-idéerna som presenteras ovan med ett MathCAD-arbetsblad. Utvecklingsbaserade integrera rörliga genomsnittsmodeller. MA filter AR filter Integrera filter. Ibland är processen eller serierna som vi försöker att modellera inte stationära i nivåer Men det kan vara stillastående, säg första skillnader. Det är i sin ursprungliga form kanske inte autocovariances för serien Oberoende av den kronologiska tidpunkten Om vi ​​bygger en ny serie som är de första skillnaderna i originalserien, uppfyller denna nya serie definitionen av stationaritet. Detta är ofta fallet med ekonomiska data som är mycket trended. Definition Anta att zt Är inte stationär, men zt - z t - 1 uppfyller definitionen av stationaritet. Vidare har vid den vita brusbegreppet ändamål och varians. Vi kan w Rita modellen som. Detta benämns en ARIMA p, d, q modell p identifierar AR-operatörens ordning, d identifierar strömmen på q identifierar MA-operatörens ordning. Om rötterna av f B ligger utanför enhetens cirkel då Vi kan skriva om ARIMA p, d, q som ett linjärt filter. Jag kan skriva som en MA Vi reserverar diskussionen om detekteringen av enhetsrotsar för en annan del av föreläsningsanteckningarna. Tänk på ett dynamiskt system med xt som ingång Serier och yt som en produktionsserie Diagrammatiskt har vi. Dessa modeller är en diskret analogi av linjära differentialekvationer. Vi antar följande relation. Där b indikerar en ren fördröjning Minns att 1-B Göra denna substitution, modellen kan skrivas. Om koefficienten Polynom på yt kan inverteras så kan modellen skrivas som. VB är känd som impulsresponsfunktionen Vi kommer att stöta på denna terminologi igen i vår senare diskussion om vektorautoregressiva cointegrations - och felkorrigeringsmodeller. MODELL IDENTIFIKATION Med de Cided på en klass av modeller måste man nu identifiera ordningen för processerna som genererar data. Det är man måste göra bästa gissningar om AR-och MA-processernas ordning för att driva den stationära serien. En stationär serie kännetecknas helt av sin genomsnittliga Och autocovariances Av analytiska skäl arbetar vi vanligtvis med autokorrelationer och partiella autokorrelationer. Dessa två grundläggande verktyg har unika mönster för stationära AR - och MA-processer. Man kan beräkna provuppskattningar av autokorrelations - och partiella autokorrelationsfunktioner och jämföra dem med tabulerade resultat för standardmodeller. Exempel Autocovariance Function. Sample Autocorrelation Function. The provpartiella autokorrelationer kommer att vara. Utta autokorrelationerna och partiella autokorrelationer är ganska enkla i princip Anta att vi har en serie zt med nollvärde, vilket är AR 1 Om vi ​​skulle köra regression av zt 2 På zt 1 och zt vi förväntar oss att finna att koefficienten på zt inte var annorlunda M noll eftersom denna partiella autokorrelation borde vara noll. Å andra sidan bör autokorrelationerna för denna serie minska exponentiellt för att öka lags se AR 1-exemplet ovan. Antag att serien verkligen är ett rörligt medelvärde. Autokorrelationen ska vara noll överallt men Vid den första fördröjningen Den partiella autokorrelationen borde dö ut exponentiellt Även från vår mycket snabba trumma genom grunderna i tidsserieanalysen är det uppenbart att det finns en dualitet mellan AR - och MA-processer. Denna dualitet kan sammanfattas i följande tabell.2 1 Flytta genomsnittsmodeller MA-modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvillkor I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde på xt. Till exempel en Lag 1 autoregressiva termen är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett förflutet e Rror multiplicerad med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att wt är identiskt oberoende fördelat, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket från denna plot. Provet ACF för den simulerade Data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är teoretiska egenskaper följande. Notera att den enda nonzero Värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till Tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff Modeller av modeller med MA-termer Det är inte något som vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibilitetsbegränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast En omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för inverterbarhet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 Med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en Titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade Provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.