Kapitel 9 egenskaper of optioner

Egenskaper för aktieoptioner Kapitel 9 1 Alternativ, framtider och andra derivat, 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 2008. Presentation på temat: Egenskaper för aktieoptioner Kapitel 9 1 Alternativ, framtider och andra derivat, 7: e upplagan, upphovsrätt John C . Hull 2008. Presentation transkript: 1 Egenskaper för aktieoptioner Kapitel 9 1 Alternativ, framtider och andra derivat, 7: e upplagan, Copyright John C. Hull 2008 2 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 20082 Notation c. Europeiskt köpoptionspris p: Europeiskt säljoptionspris S 0: Aktiekurs idag K: Aktiekurs T: Alternativets livslängd: Volatilitet på aktiekursen C: American Call optionspris P: American Put optionspris ST: Aktiekurs vid optionslösning D : Nuvärde av utdelningar under optionsrörelse r: Riskfri ränta för löptid T med cont comp 3 Alternativ, Futures och andra derivat 7: e upplagan, Copyright John C. Hull 20083 Effekt av variabler på optionsprissättning (tabell 9.1, sid 202 ) cpCP Variabel S0S0 KT r D. 4 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 20084 Amerikanska vs europeiska alternativ Ett amerikanskt alternativ är värd minst lika mycket som det motsvarande europeiska alternativet C c P p 5 Alternativ, framtider och andra derivat 7 Upplaga Copyright John C. Hull 20085 Anrop: En Arbitrage Opportunity Anta att c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 Finns det en arbitrage möjlighet 6 Alternativ, Futures och andra derivat 7: e upplagan, Copyright John C. Hull 20086 Nedre gräns för europeiska köpoptionspriser Inga utdelningar (ekvation 9.1, sid 207) c max (S 0 Ke rT, 0) 7 Alternativ, Futures och andra derivat 7: e upplagan, Copyright John C. Hull 20087 Anger: En Arbitrage Opportunity Antag att det finns en arbitrage möjlighet p 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 20088 Nedre gräns för europeiska satser Priser Inga utdelningar (ekvation 9.2, sidan 208) p max (Ke-rT S 0, 0) 9 Alternativ, Futures , och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 20089 Samtalsparametrar Inga utdelningar (ekvation 9.3, sidan 208) Beakta följande 2 portföljer: Portfölj A: Europeiskt samtal på ett lager PV av aktiekursen i kontanter Portfölj C : Europeiskt lager på börsen Båda är värda max (ST, K) vid optionsernas löptid De måste därför vara värda densamma idag. Det betyder att c Ke-rT p S 0 10 Alternativ, Futures och andra derivat 7: e upplagan, Copyright John C. Hull 200810 Arbitrage Opportunities Anta att c 3 S 0 31 T 0.25 r 10 K 30 D 0 Vad är arbitrage möjligheterna när p 2,25. p 1. 11 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 200811 Tidig träning Vanligtvis finns det någon chans att ett amerikanskt alternativ kommer att utövas tidigt Ett undantag är ett amerikanskt samtal på en utdelning utan betalning bör aldrig utnyttjas tidigt 12 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 200812 För ett amerikanskt samtal: S 0 100 T 0,25 K 60 D 0 Ska du träna omedelbart Vad ska du göra om du vill hålla beståndet för de kommande 3 månaderna, känner du inte att beståndet är värd att hålla inne för de kommande 3 månaderna. En extrem situation 13 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 200813 Skäl för att inte utföra ett samtal Tidig (Inga utdelningar) Ingen inkomster offras Betalning av aktiekursen är försenad Holding innehar försäkring mot aktiekurs som faller under aktiekursen 14 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 2 00814 Bör sätts ut tidigt. Finns det några fördelar med att utöva en amerikansk uppsättning när S 0 60 T 0.25 r 10 K 100 D 0 15 Alternativ, framtider och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 200815 Effekten av utdelningar på lägre belopp till alternativpriser ( Ekvationer 9.5 och 9.6, sidorna 214-215) 16 Alternativ, Futures och andra derivat 7: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 200816 Förlängningar av Put-Call Parity Amerikanska alternativ D 0 S 0 - K 0 c D Ke - rT s 0 (Equation 9.7, s. 215) Amerikanska alternativ D 0 S 0 - D - K 0 c D Ke - rT p S 0 (ekvation 9.7, s. 215) Amerikanska alternativ D 0 S 0 - D - KChapter 10 Egenskaper hos lager Alternativ Alternativ, Futures och andra Derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 1. Presentation på temat: Kapitel 10 Egenskaper för aktieoptioner Optioner, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 1. Presentation transkript: 1 Kapitel 10 Egenskaper för aktieoptioner Alternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 2012 1 2 Noteringsalternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 20122 c: Europeiskt köpoptionspris p: Europeiskt säljoptionspris S0: S0: Aktiekurs idag K: Aktiekurs T: Alternativets livslängd: : Volatilitet på aktiekursen C: Amerikanska köpoptionspris P: Amerikanska köpoptionspris ST: ST: Aktiekurs vid optionslösning D: PV av utdelningar som betalats under optionens löptid r Riskfri ränta för löptid T med forts. comp. 3 Effekt av variabler på optionsprissättning (Tabell 10.1, sidan 215) Alternativ, framtider och andra derivat, 8: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 2012 Variabel cpCP S0S0 K T. r D 3 4 Amerikanska vs europeiska alternativ, framtider och Andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 4 Ett amerikanskt alternativ är minst lika mycket värt som det motsvarande europeiska alternativet C c P p 5 Samtal: En arbitrage-möjlighet Anta att det finns en arbitrage möjlighet Alternativ, Futures och Other Derivater, 8: e upplagan, upphovsrätt John C. Hull 2012 5 c 3 S 0 20 T 1 r 10 K 18 D 0 6 Nedre gränsen för europeiska samtalskostnadspriser Inga utdelningar (ekvation 10.4, sid 220) c S 0 Ke-rT Alternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 6 7 Puts: En Arbitrage Opportunity Anta att det finns en arbitrage möjlighet Alternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 7 s 1 S 0 37 T 0,5 r 5 K 40 D 0 8 Nedre gränsen för Europ ean Sätt priser Inga utdelningar (ekvation 10.5, sidan 221) p Ke-rT S 0 Alternativ, framtider och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 8 9 Samtalsparametrar: Inga utdelningar Överväga följande 2 portföljer: Portfölj A: Europeiskt samtal på ett lager nollkupongobligation som betalar K vid tidpunkten T Portfölj C: Europeisk sätter på aktiebolaget Aktier, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 9 10 Värden på portföljer Alternativ, framtider och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 201210 ST KS T KS T 11 Parallellresultatet för samtal (ekvation 10.6, s. 222) Båda är värda max (ST, K) vid alternativ De måste därför vara värda densamma idag. Detta innebär att c Ke-rT p S 0 Alternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 11 12 Antag att Vad är arbitrage möjligheterna när s 2.25. p 1. Alternativ, framtider och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 12 Arbitrage Opportunities c 3 S 0 31 T 0,25 r 10 K 30 D 0 13 Bound for European or American Call Options (No Dividends) Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 13 14 Bounds för europeiska och amerikanska Put Options (No Dividends) Options, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 201214 15 Effekten av utdelningar Alternativ, Futures och andra derivat, 8: e upplagan, Copyright John C. Hull 2012 15 16 Förlängningar av Put-Call Parity Amerikanska alternativ D 0 S 0 K 0 c D Ke rT p S 0 ekvation 10,10 s. 230 amerikanska alternativ D 0 S 0 D K 0 c D Ke rT p S 0 Ekvation 10.10 s. 230 amerikanska alternativ D 0 S 0 D K73323229-9-Egenskaper-av-lager-alternativ - T ER Prope: rties. Detta är slutet på förhandsvisningen. Registrera dig för att få tillgång till resten av dokumentet. Oformaterad textförhandsvisning: T ER Prope: rties of Stock Options I det här kapitlet ser vi på de faktorer som påverkar aktiekurspriserna. Vi använder ett antal olika arbitrage-argument för att undersöka förhållandet mellan europeiska optionspriser, amerikanska optionspriser och det underliggande aktiekursen. Det viktigaste av dessa relationer är en jämlikhet, som är en relation mellan europeiska köpoptionspriser och europeiska säljoptionspriser. Kapitlet undersöker huruvida amerikanska alternativ bör utövas tidigt. Det visar att det aldrig är optimalt att utöva ett amerikanskt köpoption på en utdelning utan betalning före optionsutgången, men att under vissa omständigheter är det tidigt att utöva ett amerikanskt köpoption på ett sådant lager optimalt. 9.1 FAKTORER SOM OMFATTAR OPTIONSPROCESSER Det finns sex faktorer som påverkar priset på ett aktieoption: 1. Den 2. Den 3. Den 4. Den 5. Den nuvarande aktiekursen. Så lösenpris, K-tiden till utgången, T-volatiliteten av aktiekursen (j riskfri ränta, r utdelning förväntad under optionens livslängd I det här avsnittet överväger vi vad som händer med optionspriser när en av dessa faktorer ändras, med alla övriga kvarvarande. Resultatet sammanfattas i tabell 9.1. I figurerna 9.1 och 9.2 visas hur europeiska samtals - och säljpriserna beror på de fem första faktorerna i den situation där 50, 50, 5 år, 30 år per år, t 1 år och det finns inga utdelningar, i det här fallet är köpeskillingen 7.116 och börskursen är 4 677. Aktiekurs och aktiekurs Om ett köpoption utövas under en viss framtid kommer avbetalningen att vara det belopp med vilket aktiekursen överstiger aktiekursen. alternativ blir därför mer värdefulla som Oquot 206 KAPITEL 9 Tabell 9.1 Sammanfattning av th e-effekten på priset på ett aktieoption att öka en variabel samtidigt som alla andra fixas. Variabel Aktuell aktiekurs Aktiekurs Tid till utgångsdatum Volatilitet, Riskfri ränta Summan av framtida utdelningar European European American American call put call put. indikerar att en ökning av variabeln medför att optionspriset ökar - indikerar att en ökning av variabeln medför att optionspriset minskar 1 indikerar att förhållandet är osäkert. aktiekursen ökar och mindre värdefullt eftersom strejkpriset ökar. För ett köpoption är löneutbetalningen på övertag det belopp med vilket aktiekursen överstiger aktiekursen. Putoptioner uppträder därför på motsatt sätt från köpoptioner: De blir mindre värdefulla när aktiekurserna ökar och mer värdefulla som prissättningspriset ökar. Figurerna 9 1 (a-d) illustrerar hur sälj - och köppriserna beror på aktiekurs och aktiekurs. Tid till utgångsdatum Betrakta nu effekten av utgångsdatum. Både sätta och ringa amerikanska alternativ blir mer värdefulla när tiden för utgången ökar. Antag att vi har två amerikanska alternativ som endast skiljer sig från utgångsdatumet. Ägaren av alternativet för lång livslängd har alla träningsmöjligheter öppna för ägaren till shortlife-alternativet - och mer. Livslängdsalternativet måste därför alltid vara minst lika mycket som kortlivslängden. Även om europeiska sätta och anropsalternativ vanligtvis blir mer värdefulla eftersom tiden för utlösning ökar (se t ex figurerna 9.1 (e, f)) är detta inte alltid fallet. Tänk på två europeiska köpoptioner på ett lager: ett med utgångsdatum i 1 månad, den andra med ett utgångsdatum på 2 månader. Antag att en mycket stor utdelning förväntas inom 6 veckor. Utdelningen kommer att leda till att aktiekursen sjunker, så att livslängdsoptionen kan vara mer värd än alternativet för lång livslängd. Volatilitet Det exakta sättet för volatilitet definieras i kapitel 13. Grovt sett är volatiliteten i aktiekursen ett mått på hur osäkert vi handlar om framtida aktiekursrörelser. När volatiliteten ökar, ökar chansen att beståndet gör det mycket bra eller väldigt dåligt. För ägaren av ett lager tenderar dessa två utfall att kompensera varandra. Men det här är inte så för ägaren av ett samtal eller en uppsättning. Ägaren av ett samtal drar nytta av prisökningar men har begränsad nackdelrisk vid prisnedgångar, eftersom det mesta ägaren kan förlora är priset på alternativet. På samma sätt drar ägaren av en sats fördel av prisminskningar, men har begränsad risk för nedåtsidan vid 207 fastighetsoptioner av prishöjningar. Värdena för bQth ringer och sätter därför ökar, eftersom volatiliteten ökar (se figur 9.2 (a, b)). Riskfri ränta Den riskfria räntan påverkar priset på ett alternativ på en mindre tydlig väg. När räntorna i ekonomin ökar, förväntad avkastning som investerare behöver från börsen Effekt av förändringar i aktiekurs, aktiekurs och utgångsdatum på optionspriser när So 50, K 50, 5, 30 och T 1. Figur 9.1 Köpoptionspris, c Putoptionspris, p 50 50 40 30 20 0 Aktiekurs, Så Aktiekurs, Så 10 0 20 60 80 20 100 80 (a) 100 (b) Valoptionspris, c Sätt optionspris, p 50 40 30 20 10 0 Stoppkurs, K 0 20 40 60 80 100 10 0 Strike-pris, K 0 20 40 (c) 60 80 100 (d) Valoptionspris, c Sätt alternativt pris, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 0 0,0 Utgångstid, T 0,4 0,8 1,2 (e) 1,6 2 0 0,0 Utgångstid, T 0,4 0,8 1,2 (f) 1,6 208 KAPITEL 9 Figur 9.2 Effekt av förändringar i volatilitet och riskfri ränta på alternativpriser när So 50, K 50, 5, U 30 och T l. Call option pris, c Sätt alternativ pris, p 15 15 12 12 9 9 6 6 3 00 Volatilitet, cr () 20 10 30 40 50 3 0 0 Volatilitet, cr () 10 20 30 (a) 40 50 (b) Ring alternativt pris, c Putoptionspris, p 10 10 8 8 6 6 4 4 2 00 Riskfri ränta, r () 2 4 6 8 (c) 2 00 Riskfri ränta, r () 2 4 6 8 ) tenderar att öka. Dessutom minskar nuvärdet av eventuellt framtida kassaflöde som innehavaren av optionen erhåller. Den kombinerade effekten av dessa två effekter är att öka värdet av köpoptioner och sänka värdet på säljoptionerna (se figur 9.2 (c, d)). Det är viktigt att betona att vi antar att räntorna förändras medan alla andra variabler blir desamma. Vi antar särskilt att räntorna ändras medan aktiekursen förblir densamma. I praktiken, när räntorna stiger (faller), tenderar aktiekurserna att falla (uppgång). Nettoeffekten av en räntehöjning och åtföljande börskursminskning kan vara att sänka värdet på ett köpoption och öka värdet på ett köpoptionsalternativ. Liknande. nettoeffekten av en räntesänkning och den åtföljande aktiekursökningen kan vara att öka värdet på ett köpoption och sänka värdet på ett köpoptionsalternativ. Antal framtida utdelningar Utdelningar medför att aktiekursen sänks på före utdelningsdagen. Det här är dåliga nyheter för värdet av köpoptioner och goda nyheter för värdet av putalternativ. Värdet av ett köpoption är därför negativt relaterat till storleken på en förväntad framtida utdelning, och värdet av ett köpoption är positivt relaterat till storleken på en förväntad framtida utdelning. 209 Aktieoptioner Egenskaper 9.2 ANSÖKAN OCH NOTERING I detta kapitel kommer vi att göra antaganden som liknar dem som gjorts för att härleda termins - och terminspriser i kapitel 5. Vi antar att det finns vissa marknadsaktörer, till exempel stora investeringsbanker, för vilka följande uttalanden är sanna: 1. Det finns inga transaktionskostnader. 2. Samtliga handelsvinster (netto efter handelsförluster) omfattas av samma skattesats. 3. Lån och utlåning är möjliga till den riskfria räntan. Vi antar att dessa marknadsaktörer är beredda att utnyttja arbitrage möjligheter när de uppstår. Som diskuteras i kapitel I och 5, innebär detta att alla tillgängliga arbitrage möjligheter försvinner mycket snabbt. För vår analys är det därför rimligt att anta att det inte finns några arbitrage möjligheter. Vi använder följande notering: Så: Nuvarande aktiekurs K: Alternativoptionsoption T: Tidsperiod till utgången av option ST: Aktiekurs vid löptid r: Kontinuerligt sammanslagd riskfri räntesats för en investering som förfaller i tid T c: Värdet av det amerikanska köpoptionen att köpa en aktie P: Värdet av det amerikanska köpoptionen att sälja en aktie c: Värdet av europeiskt köpoption att köpa en aktie p: Värdet av europeiskt köpoption att sälja en aktie Det bör noteras att r är den nominell räntesats, inte den reala räntan. Vi kan anta att rgt O. Annars skulle en riskfri investering inte ge några fördelar över kontanter. (Faktum är att om r-l 0, skulle kontanter vara att föredra för en riskfri investering.) 9.3 ÖVRE OCH LÄGRE GRUND FÖR OPTIONPRISER I detta avsnitt erhåller vi övre och nedre gränser för optionspriser. Dessa gränser beror inte på några speciella antaganden om de faktorer som nämns i avsnitt 9.1 (utom r gt 0). Om ett optionspris ligger över den övre gränsen eller under den nedre gränsen, finns det lönsamma möjligheter till arbitrageurs. Övre gränser Ett amerikanskt eller europeiskt köpoption ger innehavaren rätt att köpa en aktie av ett lager till ett visst pris. Oavsett vad som händer kan alternativet aldrig vara värt mer än beståndet. Aktiekursen är därmed en övre gräns till optionspriset: c Så Om dessa förhållanden inte var sanna kunde en arbitrage enkelt göra en risklös vinst genom att köpa aktien och sälja köpoptionen. 210 KAPITEL 9 Ett amerikanskt eller europeiskt säljalternativ ger innehavaren rätt att sälja en aktie av aktier för K. Oavsett hur låg aktiekursen blir, kan alternativet aldrig vara mer värt än K. Därför p K För europeiska optioner , vi vet att vid löptiden kan alternativet inte vara värt mer än K. Det följer att det inte kan vara värt mer än nuvärdet av K idag. Om detta inte var sant kunde en arbitrage göra en riskfri vinst genom att skriva alternativet och investera försäljningen av försäljningen till den riskfria räntan. Nedre gränsen för uppmaningar till utdelning utan betalning En lägre avgift för priset på ett europeiskt köpoption på en utdelning utan betalning är Wequot ser först ut på ett numeriskt exempel och anser sedan ett mer formellt argument. Antag att så 20, k 18, r 10 per år och t 1 år. I detta fall, So - KeRT 20 - 18e-O. 1 3,71 eller 3,71. Tänk på situationen där det europeiska köppriset är 3,00, vilket är mindre än det teoretiska läget på 3,71. En arbitrageur kan korta börsen och köpa samtalet för att ge ett kassaflöde 20.00 - 3.00 17.00. Om investerat för 1 år kl 10 på året, växer 17.00 till 17eo. 1 18,79. I slutet av året löper alternativet. Om aktiekursen är större än 18.00, utövar arbitragören möjligheten till 18.00, stänger den korta positionen och ger en vinst på 18,79 - 18,00 0,79. Om aktiekursen är mindre än 18.00 köps aktien på marknaden och kort position är stängd. Arbitrageuren gör då en ännu större vinst. Om till exempel om aktiekursen är 17.00 är arbitrageurs vinsten 18,79-17,00 1,79. För ett mer formellt argument ser vi följande två portföljer: Portfölj A: En europeisk köpoption plus ett belopp som motsvarar Kört Portfolio B : en aktie I portfölj A växlas kassan, om den placeras till riskfri ränta, till K i tid T. Om ST gt K utövas köpoptionen vid löptid och portfblio A är värt ST om ST Det K, kallingsalternativet löper ut värdelöst och portföljen är värt K. Vid tidpunkten T är portfölj A värt max (ST K) Portfölj B är värt ST på tid T. Således är portfölj A alltid värt så mycket som, och 211 fastighetsoptioner kan vara värda mer än portfölj vid optionslösning. Av detta följer att i avsaknad av arbitrage möjligheter måste detta också vara sant idag. staket, klocka Så eller eftersom det värsta som kan hända med ett köpalternativ är att det löper ut värdelöst, kan dess värde inte vara negativt. Detta innebär att c 0 och därmed c max (SoKerT. 0) (9.1) Exempel 9.1 Betrakta ett europeiskt köpoption på en utdelning utan aktieutdelning när aktiekursen är 51, aktiekursen är 50, tiden till förfall är 6 månader och den riskfria räntan är 12 per år. I detta fall, Så 51, K50, T 0.5 och rT r 0,12. Från ekvation (9.1) är ett lägre belopp för optionspriset So-Ke-. eller 51-50e-O.12x0.5 3,91 lägre Bundet till Europa lägger på utdelningsandelar För ett europeiskt köpoption på utdelning utan utdelning är ett lägre belopp för priset återigen vi först överväger en numeriskt exempel och sedan titta på ett mer formellt argument. Antag att så 37, k 40, r 5 per år och t 0,5 år. I detta fall, KörT - Så 40e-O.05xO.5 - 37 2.01 Tänk på situationen. där det europeiska säljpriset är 1,00, vilket är mindre än det teoretiska läget på 2,01. En arbitrageur kan låna 38,00 i 6 månader för att köpa både puten och beståndet. Vid slutet av 6 månader kommer arbitrageur att betala tillbaka 38eo.05xO.5 38.96. Om aktiekursen är under 40,00, utövar arbitragören möjligheten att sälja aktierna till 40,00, återbetalar lånet och ger en vinst på 40,00 - 38,96 1,04 Om aktiekursen är större än 40,00 kasserar arbitrageur alternativet, säljer lager, och återbetalar lånet för en ännu större vinst. Till exempel, om aktiekursen är 42,00, är ​​arbitrageurs vinsten. 42,00 - 38,96 3,04 För ett mer formellt argument betraktar vi följande två portföljer: Portfölj C: Ett europeiskt köpoption plus en aktie Portfölj D: Ett belopp kontant lika med KeRt Om ST lt K, då alternativet i portfölj C utövas på optionens löptid, och portföljen blir värd K. Om ST gt K, upphör säljoptionen värdelös och 212 KAPITEL 9-portföljen är värd ST vid denna tidpunkt. Därför är portfölj C värt max (ST K) i tid T. Antag att kontanterna placeras till den riskfria räntan är portfölj D värt K i tid T. Således är portfölj C alltid värd så mycket som, och kan Ibland är det värt mer än portfölj D i tid T. Det följer att i avsaknad av arbitrage möjligheter måste portfölj C vara värd minst lika mycket som portfölj D idag. Därför är det sällan eller för det värsta som kan hända med ett säljalternativ att det löper värdelös, dess värde kan inte vara negativt. Detta innebär att p max (Ke-rT - So, 0) (9.2) Exempel 9.2. Överväga ett europeiskt säljalternativ på utdelning utan aktieutdelning när aktiekursen är 38, aktiekursen är 40, tiden för löptid är 3 månader och den riskfria räntan är 10 per år. I detta fall så 38, K40, T 0.25 och r 0.10. Från ekvation (9.2) är ett lägre belopp för optionspriset KeRT - Så eller 40e-O. lxO.25 - 38 1.01 9.4 PUT-CAll PARITY Vi får nu ett viktigt förhållande mellan p och c. Tänk på följande två portföljer som användes i föregående avsnitt: Portfölj A: En europeisk köpoption plus ett belopp motsvarande Ke-rT Portfölj C: Ett europeiskt putalternativ plus en aktie Båda är värda max (ST, K) vid alternativen löper ut. Eftersom alternativen är europeiska kan de inte utnyttjas före utgångsdatum. Portföljerna måste därför ha samma värderingar idag. Tllis betyder att (9.3) cKerT pSo Detta förhållande är känt som samtalsparitet. Det visar att värdet av ett europeiskt samtal med ett visst pris och utövningsdatum kan härledas från värdet av en europeisk sats med samma lösenpris och övningsdatum och vice versa. Om ekvation (9.3) inte innehar det finns arbitrage möjligheter Antag att aktiekursen är 31, aktiekursen är 30, den riskfria räntan är 10 år, priset för en 3-månaders europeisk köpoption är 3 , och priset på ett tre månaders europeiskt plit-alternativ är 2,25. I det här fallet är c ​​Kör 3 30e-O. lx3jI2 32.26 213 Aktieoptioner och p So 2.25 31 33.25 Portfölj C är övervärderad i förhållande till portfölj A. Den rätta arbitrage-strategin är att köpa värdepapperen i portfölj A och korta värdepapper i portfölj C. Strategin handlar om att köpa samtalet och förkorta både puten och aktien, vilket ger ett positivt kassaflöde på -3,25 31 30,25 framåt. När den investeras i den riskfria räntan växer detta belopp till 30.25eo. lxO.25 31.02 på 3 månader. Om aktiekursen vid optionsoptionens löptid överstiger 30, kommer samtalet att utövas och om det är mindre än 30 kommer uppsättningen att utnyttjas. I båda fallen slutar investeraren köpa en aktie för 30. Denna andel kan användas för att stänga den korta positionen. Nettoresultatet är därför 31,02 - 30,00 1,02. För en alternativ situation, anta att köpeskillingen är 3 och säljkursen är 1. I det här fallet är k KeTT 3 30e-O. lx312 32.26 och p Så 1 31 32,00 Portfölj A är övervärderat i förhållande till portfölj C. En arbitrageur kan korta värdepapperen i portfölj A och köpa värdepapperen i portfölj C för att låsa in vinst. Strategin omfattar tabell 9.2 Arbitrage-möjligheter när det inte finns något paritet i paritet. Aktiekurs 31 interesf rate 10call pris 3. Både sälj och köp har ett streckkurs på 30 och 3 månader till förfallodagen. Trefaldigt sätta pris 2,25 Tlllee-mollth sätta pris 1 Åtgärd noll: Köp kall för 3 Kort sätta in för att realisera 2.25 Kort aktie att förverkliga 31 Invest 30.25 i 3 månader Åtgärd noll: Lån 29 för 3 månader Kort samtal för att realisera 3 Köp put för 1 Köp aktien för 31 Åtgärd i 3 månader om ST gt 30: Ta emot 31,02 från investeringar Övningsanrop för att köpa aktier till 30 Netto vinst 1,02 Åtgärd i 3 månader om ST gt 30: Samtal utövas: sälja lager till 30 Använd 29,73 för att återbetala lån Netto vinst 0,27 Åtgärd i 3 månader om ST lt 30: Erhålla 31,02 från investeringen Utnyttjad: Köp aktier till 30 Netto vinst 1,02 Åtgärd i 3 månader om ST lt 30: Övning säljas för 3 Använd 29,73 för att återbetala lån Nettovinst 0,27 214 KAPITEL 9 Snapshot från affärsverksamheten 9.1 Sammanslagningsparitet och kapitalkonstruktion Pionjärerna för optionsprissättning var Fischer Black, Myron Scholes och Robert Merton. I början av 1970-talet visade de att alternativ kan användas för att karakterisera ett företags kapitalstruktur. Idag används denna modell i stor utsträckning av finansinstitut för att bedöma företagets kreditrisk. För att illustrera modellen, överväga ett företag som har tillgångar som finansieras med nollkupongobligationer och eget kapital. Antag att obligationerna förfaller om 5 år då en huvudbetalning av K krävs. Företaget betalar ingen utdelning. Om tillgångarna är värda mer än K om 5 år väljer aktieägarna att återbetala obligationsinnehavarna. Om tillgångarna är mindre värda än. K, väljer aktieägarna att deklarera konkurs och obligationsinnehavarna slutar äga företaget. Värdet på eget kapitalet om 5 år är därför högst (A T - K, 0), där AT är värdet av bolagets tillgångar vid den tiden. Detta visar att aktieägarna har ett 5-årigt europeiskt köpoptionsalternativ på bolagets tillgångar med ett aktiekurs på K. Vad händer med obligationsinnehavarna De får min (A T. K) om 5 år. Detta är samma som K - max (K - AT, 0). Obligationsinnehavarna har gett aktieägarna rätt att sälja bolagets tillgångar till K på 5 år. Obligationerna är därför värda nuvärdet av K minus värdet av en 5-årig europeisk säljoption på tillgångarna med ett aktiekurs på K. Sammanfattningsvis, om c och p är värdet av samtals - och säljoptionerna, då Värdet på eget kapital c Skuldens värde PV (K) - P Angiv värdet av tillgångarna i bolaget idag av A o. Värdet på tillgångarna måste motsvara det totala värdet av de instrument som används för att finansiera tillgångarna. Det betyder att det måste motsvara summan av värdet på eget kapital och skuldens värde, så att Ao omfördelar denna ekvation, vi c PV (K) - p ave c PV (K) p A o Detta är put - eall paritet resulterar i ekvation (9.3) för samtals - och säljoptioner på bolagets tillgångar. kortsluta samtalet och köpa både puten och aktien med en initial investering på 31 1 - 3 29 När investeringen finansieras till den riskfria räntan krävs en återbetalning av2geo. lxo.25 29.73 vid slutet av 3 månader. Som i det föregående fallet kommer antingen samtalet eller uppsättningen att utövas. Den korta samtalet och den långa köpoptionspositionen leder därför till att börsen säljs för 30,00. Nettovinsten är därför 30,00 - 29,73 0,27. Dessa exempel illustreras i tabell 9.2. Business Snapshot 9.1 visar hur alternativ och säljparametrar kan hjälpa oss att förstå skuld - och aktieinnehavarnas positioner i ett företag. 215 Egenskaper för aktieoptioner Amerikanska alternativ Put-call paritet håller endast för europeiska alternativ. Det är dock rimligt att härleda några resultat för amerikanska optionspriser. Det kan visas (se Problem 9.18) att, när det inte finns några utdelningar, Så-K So-Ke - rT (9.4) Exempel 9.3 En amerikansk köpoption på utdelning utan utdelning med aktiekurs 20,00 och löptid i 5 månader är värt 1,50. Antag att nuvarande aktiekurs är 19,00 och den riskfria räntan är 10 per år. Från ekvation (9.4) har vi 19 - 20 19 - 20e-O. lx5jI2 eller 1 0.18 som visar att P-C ligger mellan 1,00 och 0,18. Med C vid 1,50 måste P ligga mellan 1,68 och 2,50. Med andra ord, övre och nedre gränser för priset på en amerikansk sätta med samma lösenpris och utgångsdatum som det amerikanska samtalet är 2,50 och 1,68. 9.5 TIDIG UTBILDNING: SÄKER PÅ EN UTBILDNINGSBETALNINGSBOK Detta avsnitt visar att det aldrig är optimalt att utöva ett amerikanskt köpoption på en utdelning utan betalning före utgångsdatum. För att illustrera argumentets allmänna karaktär, överväga en amerikansk köpoption på en utdelning utan betalning med 1 månad till utgången då aktiekursen är 50 och aktiekursen är 40. Alternativet är djupt i pengarna och investerare som äger alternativet kan mycket väl frestas att utöva det omedelbart. Men om investeraren planerar att hålla aktierna obtaiped genom att utnyttja möjligheten i mer än en månad är det inte den bästa strategin. En bättre åtgärd är att behålla alternativet och träna det i slutet av månaden. 40-aktiekursen betalas sedan 1 månad senare än det skulle vara om optionen utövades omedelbart, så att räntan uppnås på 40 i 1 månad. Eftersom aktien inte betalar utdelning, avlivas ingen inkomst från lagret. En ytterligare fördel att vänta snarare än att träna omedelbart är att det finns en viss chans (dock avlägsen) att aktiekursen kommer att falla under 40 i 1 månad. I det här fallet kommer investeraren inte att träna om en månad och kommer att vara glad att beslutet att utöva tidigt inte togs. Detta argument visar att det inte finns några fördelar med att träna tidigt om investeraren planerar att behålla beståndet för återstående livstid alternativ (1 månad, i det här fallet). Vad händer om investeraren tycker att aktiebolaget är för dyrt och undrar om man ska utnyttja alternativet och sälja aktien. I det här fallet är investeraren bättre att sälja alternativet än att utöva det. l Alternativet kommer att köpas av en annan investerare som vill behålla beståndet. Sådana investerare måste existera: annars skulle nuvarande aktiekurs inte vara 50. Det pris som erhålls för optionen kommer att vara större än det inneboende värdet på 10 av de skäl som nämnts tidigare. I Som en alternativ strategi kan investeraren behålla möjligheten och korta börsen för att låsa bättre vinst än SIO. 216 KAPITEL 9 Variation av priset på ett amerikanskt eller europeiskt köpoption på en utdelningsandel med aktiekursen, So. Figur 9.3 Kalloptionspris K Aktiekurs, Så För ett mer formellt argument kan vi använda ekvation (9.1): c Så - KeTT Beca. use ägaren till ett amerikanskt samtal har alla övningsmöjligheter öppna för ägaren av motsvarande europeiskt samtal, vi måste ha följaktligen, C Så - KeTT Med tanke på gt, följer det att C gt So-K. Om det var optimalt att träna tidigt, skulle C motsvara So-K. Vi dras att det aldrig kan vara optimal för att träna tidigt. Figur 9.3 visar det allmänna sättet på vilket anropspriset varierar med So. Det indikerar att anropspriset alltid ligger över dess inneboende värde ofmax (So - K, 0). När r eller T eller volatiliteten ökar, rör sig linjen för anropspriset till aktiekursen i den riktning som indikeras av pilarna (d. v.s. längre bort från det inneboende värdet). Sammanfattningsvis finns det två skäl att ett amerikanskt samtal på en utdelning som inte betalar bör inte utnyttjas tidigt. En relaterar till den försäkring som den ger. Ett köpoption, när det hålls i stället för aktien i sig, försäkrar i själva verket innehavaren mot aktiekursen som faller under aktiekursen. När optionen har utnyttjats och aktiekursen har bytts ut till aktiekursen, försummar denna försäkring. Den andra anledningen gäller tidvärdet av pengar. Ur optionsrättighetsperspektivet, desto bättre utbetalas lösenpriset. 9.6 TIDIGT ÖVERVÄGNING: SKALL UTFÖRAS UTAN UTBYTNINGSBETALNING Det kan vara optimalt att utöva ett amerikanskt köpoption på en icke-utdelningsandel. Faktum är att en säljoption alltid måste utövas tidigt om det är tillräckligt djupt i pengarna när som helst under sitt liv. 217 Egenskaper för aktieoptioner För att illustrera detta, överväga en extrem situation. Antag att aktiekursen är 10 och aktiekursen är nästan noll. Genom att träna omedelbart får en investerare en omedelbar vinst på 10. Om investeraren väntar kan vinsten från övning vara mindre än 10 men den kan inte vara mer än 10 eftersom negativa aktiekurser är omöjliga. Vidare är mottagning 10 nu bättre än att ta emot 10 i framtiden. Det följer att optionen bör utövas omedelbart. Som ett köpalternativ kan ett säljalternativ ses som försäkring. Ett köpoption, när det hålls i samband med aktien, försäkrar innehavaren mot aktiekursen under en viss nivå. However, a put option is different from a call option in that it may be optimal for an investor to forgo this insurance and exercise early in order to realize the strike price immediately. In general, thy early exercise of a put option becomes more attractive as So decreases, as r increases, and as the volatility decreases. It will be recalled from equation (9.2) that For an American put with price P, the stronger condition P K - So must always hold because immediate exercise is always possible. Figure 9.4 shows the general way in which the price of an American put varies with So. Provided that rgt 0, it is always optimal to exercise an American put immediately when the stock price is sufficiently low. When early exercise is optimal, the value of the option is K - So. The curve representing the value of the put therefore merges into the puts intrinsic value, K - So, for a sufficiently small value of So. In Figure 9.4, this value of So is shown as point A. The line relating the put price to the stock price moves in the direction indicated by the arrows when r decreases, when the volatility increases, and when T increases. Because there are some circumstances when it is desirable to exercise an American put option early, it follows that an American put option is always worth more than the Figure 9.4 Variation of price of an American put option with stock price, So. American put price quot. A. K Stock price, So 218 CHAPTER 9 Figure 9.5 Variation of price of a European put option with the stock price, So. European put price E quotquot. quot. quot B K Stock price, So corresponding European put option. Furthermore, because an American put is sometimes worth its intrinsic value (see Figure 9.4), it follows that a European put option must sometimes be worth less than its intrin. sic value. Figure 9.5 shows the variation of the European put price with the stock price. Note that point B in Figure 9.5, at which the price of the option is equal to its intrinsic value, must represent a higher value of the stock price than point A in Figure 9.4. Point E in Figure 9.5 is where So 0 and the European put price is Ke-r 9.7 EFFECT OF DIVIDENDS The results produced so far in this chapter have assumed that we are dealing with options on a non-dividend-paying stock. In this section we examine the impact of dividends. In the United States most exchange-traded stock options have a life of less than 1 year and dividends payable during the life of the option can usually be predicted with reasonable accuracy. We will use D to denote the present value of the dividends during the life of the option. In the calculation of D, a dividend is assumed to occur at the time of its ex-dividend date. lower Bound for Calls and Puts We can redefine portfolios A and B as follows: Portfolio A: one European call option plus an amount of cash equal to D Ke - rT Portfolio B: one share A similar argument to the one used to derive equation (9.1) shows that c So - D - Ke - rT (9.5) 219 Properties of Stock Options We can also redefine portfolios C and D as follows: Portfolio C: one European put option plus one share Portfolio D: an amount of cash equal to D Ke - rT A similar argument to the one used to derive equation (9.2) shows that p D Ke-rT - So (9.6) Early Exercise When dividends are expected, we can no longer assert than an American call option will not be exercised early. Sometimes it is optimal to exercise an American call immediately prior to an ex-dividend date. It is never optimal to exercise a call at other times. This point is discussed further in the appendix to Chapter 13. Put-Call Parity Comparing the value at option maturity of the redefined portfolios A and C shows that, with dividends, the put-eall parity result in equation (9.3) becomes cDKe-rT pSo (9.7) Dividends cause equation (9.4) to be modified (see Problem 9.19) to So - D - K. C - p. So - Ke - rT (9.8) SUMMARY There are six factors affecting the value of a stock option: the current stock price, the strike price, the expiration date, the stock price volatility, the risk-free interest rate, and the dividends expected during the life of the option. The value of a call generally increases as the current stock price, the time to expiration, the volatility, and the riskfree interest rate increase. The value of a call decreases as the strike price and expected dividends increase. The value of a put generally increases as the strike price, the time to expiration, the volatility, and the expected dividends increase. The value of a put decreases as the current stock price and the risk-free interest rate increase. It is possible to reach some co. ndusions about the value of stock options without making any assumptions about the volatility of stock prices. For example, the price of a call option on a stock must always be worth less than the price of the stock itself. Similarly, the price of a put option on a stock must always be worth less than the options strike price. A European call option on a non-dividend-paying stock must be worth more than max(So - Ke - rT. 0) where So is the stock price, K is the strike price, r is the risk-free interest rate, and Tis the time to expiration. A European put option on a non-dividend-paying stock must be 220 CHAPTER 9 worth more than max(Ke-rT - So, 0) When dividends with present value D will be paid, the lower bound for a European call option becomes max(So - D - Ke - rT. 0) and the lower bound for a European put option becomes max(Ke-rT D - So, 0) Put-eall parity is a relationship between the price, c, of a European call option on a stock and the price, p, of a European put option on a stock. For a non-dividend-paying stock, it is cKe-rT pSo For a dividend-paying stock, the put-eall parity relationship is cDKe - rT pSo Put-call parity does not hold for American options. However, it is possible to use arbitrage arguments to obtain upper and lower bounds for the difference between the price of an American call and the price of an American put. In Chapter 13, we will carry the analyses in this chapter further by making specific assumptions about the probabilistic behavior of stock prices. The analysis will enable us to derive exact pricing formulas for European stock options. In Chapters 11 and 17, we will see how numerical procedures can be used to price American options. FURTHER READING Black, F. and M. Scholes. quotThe Pricing of Options and Corporate Liabilities, quot Journal oj Political Economy, 81 (MayjJune-1973): 637-59. Broadie, M. and J. Detemple. quotAmerican Option Valuation: New Bounds, Approximations, and a Comparison of Existing Methods, quot Review oj Financial Studies, 9, 4 (1996): 1211-50. Merton, R. c. quotOn the Pricing of Corporate Debt: The Risk Structure of Interest Rates, quot Journal oj Finance, 29, 2 (1974): 449-70. Merton, R. C. quotTheory of Rational Option Pricing, quot Bell Journal oj Economics and Management Science, 4 (Spring 1973): 141-83. Merton, R. C. quotThe Relationship between Put and Call Prices: Comment, quot Journal oj Finance, 28 (March 1973): 183-84. Stoll, H. R. quotThe Relationship between Put and Call Option Prices, quot Journal oj Finance, 31 (May 1969): 319-32. Questions and Problems (Answers in Solutions Manual) 9.1. List the six factors that affect stock option prices. 9.2. What is a lower bound for the price of a 4-month call option on a non-dividend-paying stock - when the stock price is 28, the strike price is 25, and the risk-free interest rate is 8 per annum Properties of Stock Options 221 9.3. What is a lower bound for the pric of a I-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 12, the strike price i 15, and the risk-free interest rate is 6 per annum 9.4. Give two reasons why the early exercise of an American call option on a non-dividendpaying stock is not optimal. The first reason should involve the time value of money. The second should apply even if interest rates are zero. 9.5. quotThe early exercise of an American put is a trade-off between the time value of money and the insurance value of a put. quot Explain this statement. 9.6. Explain why an American call option on a dividend-paying stock is always worth at least as much as its intrinsic value. Is the same true of a European call option Explain your answer. 9.7. The price of a non-dividend-paying stock is 19 and the price of a 3-month European call option on the stock with a strike price of 20 is 1. The risk-free rate is 4 per annum. What is the price of a 3-month European put option with a strike price of 20 9.8. Explain why the arguments leading to put-call parity for Eur()pean options cannot be used to give a similar result for American options. 9.9. What is a lower bound for the price of a 6-month call option on a non-dividend-paying stock when the stock price is 80, the strike price is 75, and the risk-free interest rate is 10 per annum 9.10. What is a lower bound for the price of a 2-month European put option on a nondividend-paying stock when the stock price is 58, the strike price is 65, and the risk-free interest rate is 5 per annum 9.11. A 4-month European call option on a dividend-paying stock is currently selling for 5. The stock price is 64, the strike price is 60, and a dividend of 0.80 is expected in 1 month. Den riskfria räntan är 12 per år för alla löptider. What opportunities are there for an arbitrageur 9.12. A I-month European put option on a non-dividend-paying stock is currently selling for 2.50. The stock price is 47, the strike price is 50, and the risk-free interest rate is 6 per annum. What opportunities are there for an arbitrageur 9.13. Give an intuitive explanation of why the early exercise of an American put becomes more attractive as the risk-free rate increases and volatility decreases. 9.14. The price of a European call that expires in 6 months and has a strike price of 30 is 2. The underlying stock price is 29, and a dividend of 0.50 is expected in 2 months and again in 5 months. The term structure is flat, with all risk-free interest rates being 10. What is the price of a European put option that expires in 6 months and has a strike price of 30 9.15. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.14 if the European put price is 3. 9.16. The price of an American call on a non-dividend-paying stock is 4. The stock price is 31, the strike price is 30, and the expiration date is in 3 months. The risk-free interest rate is 8. Derive upper and lower bounds for the price of an American put on the same stock with the same strike price and expiration date. 9.17. Explain carefully the arbitrage opportunities in Problem 9.16 if the American put price is greater than the calculated upper bound. 222 CHAPTER 9 9.18. Prove the result in equation (9.4). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.19. Prove the result in equation (9.8). (Hint: For the first part of the relationship, consider (a) a portfolio consisting of a European call plus an amount of cash equal to D K, and (b) a portfolio consisting of an American put option plus one share.) 9.20. Regular call options on non-dividend-paying stocks should not be exercised early. However, there is a tendency for executive stock options to be exercised early even when the company pays no dividends (see Business Snapshot 8.3 for a discussion of executive stock options). Give a possible reason for this. 9.21. Use the software DerivaGem to verify that Figures 9.1 and 9.2 are correct. Assignment Questions 9.22. A European call option and put option on a stock both have a strike price of 20 and an expiration date in 3 months. Both sell for 3. The risk-free interest rate is 10 per annum, the current stock price is 19, and a 1 dividend is expected in I month. Identify the arbitrage opportunity open to a trader. 9.23. Suppose that Cl, Cl, and C3 are the prices of European call options with strike prices K 1, K2, and K3, respectively, where K 3 gt K2gt Kt and K 3 - K2 K2 - K 1 All options have the same maturity. Show that C2. s 0.5(cl C3) (Hint: Consider a portfolio that is long one option with strike price KI, long one option with strike price K3, and short two options with strike price K2) 9.24. What is the result corresponding to that in Problem 9.23 for European put options 9.25. Suppose that you are the manager and sole owner of a highly leveraged company. All the debt will mature in 1 year. If at that time the value of the company is greater than the face value of the debt, you will payoff the debt. If the value of the company is less than the face value of the debt, you will declare bankruptcy and the debt holders will own the company. (a) Express your position as an option on the value of the company. (b) Express the position of the debt holders in terms of options on the value of the company. (c) What can you do to increase the value of your position 9.26. Consider an option on a stock when the stock price is 41, the strike price is 40, the riskfree rate is 6, the volatility is 35, and the time to maturity is 1 year. Assume that a dividend of 0.50 is expected after 6 months. (a) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European call. (b) Use DerivaGem to value the option assuming it is a European put. (c) Verify that put-eall parity holds. (d) Explore using DerivaGem what happens to the price of the options as the time to maturity becomes very large. For this purpose, assume there are no dividends. Explain the results you get. View Full Document This note was uploaded on 01302012 for the course MATH 174 taught by Professor Donblasius during the Spring 03911 term at UCLA.